秋学期・月曜2時限・3-223教室
教室変更で3-371教室(初回の授業を実際に行なった教室)になりました。
上智大学の学部シラバス内の本授業のページ [数の世界 ]
小学校の算数以来馴染みの深い「数」、とりわけ「整数」の振舞いについて、 様々な奥深い現象を紹介する。 剰余と合同式、ユークリッドの互除法による最大公約数の計算法、 素数の概念の意義と見直し、方程式の解法理論の歴史などの話題に加え、 暗号など近年の情報化社会における応用などを通じて、 数理現象の探求が数理技術として活用されている様子にも触れる。 高校の「数学II・数学B」程度の予備知識を想定する。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,12KB) |アンケート(pdf,7KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
整除性(割り切れる／割り切れない)についての小ネタ。
「体育の日」であるが授業実施日である。
配ったプリント [演習(1)(pdf,9KB) ]
整除。整数に関する割算の原理。合同式。
数学での証明の考え方。数学的帰納法。
配ったプリント [演習(2)(pdf,7KB) ]
合同式。ユークリッドの互除法。
配ったプリント [演習(3)(pdf,11KB) ]
ユークリッドの互除法拡張版。最大公約数の特徴付け。 中国式剰余定理(孫子の定理)。
見做し月曜日のため、本授業を行なう。
ユークリッドの互除法拡張版・合同式に於ける除算。有限体。
配ったプリント [演習(4)(pdf,12KB) ]
数の構成(1)整数から有理数へ(分数化) 。同値関係による商。
数の構成(1)整数から有理数へ(分数化・続き) 。定義の well-definedness について。
数の構成(2)自然数を作る(ペアノの公理系)。
数の構成(1)整数から有理数へ(補足) 。定義の well-definedness について。
数の構成(2)自然数を作る(ペアノの公理系・続き)。加法の定義と可換律の証明。
配ったプリント [演習(5)(pdf,13KB) ]
数の構成(2)自然数を作る(ペアノの公理系・続き)。自然数から整数へ。
数の構成(3)有理数から実数へ(準備)。 Newton-Raphson法による sqrt(2) の有理数近似。
数の構成(3)有理数から実数へ(完備化)。
配ったプリント [演習(6)(pdf,8KB) ]
数の構成(4)実数から複素数へ(代数拡大)。
方程式の古典的な解法理論。3次方程式の解の公式。
配ったプリント [page 1,2(レポート問題の例)(pdf,35KB) ]
方程式の古典的な解法理論。4次方程式の解の公式。その後の展開。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解。
「成人の日」でお休み。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解(続き)。
素数の概念の意義と見直し。 素因数分解の一意可能性、および二次体の整数環におけるその喪失の例。
配ったプリント [page 3,4(レポート問題の例)(pdf,38KB) |page 5(アンケートなど)(pdf,11KB) ]
素数の概念の意義と見直し。素因数分解の一意可能性およびその喪失と回復。 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] での割算の原理。
整数の数理の応用。RSA暗号。(少しだけ)
期末試験は行なわない。今までの演習課題と期末レポートとにより評価する。