春学期・水曜2時限・4-577ゼミ室
代数学・整数論・表現論などの話題の中から、学部の授業では到達しないが、 大学院生としては知っているべき基本的な内容を選んで講義する。 内容は受講生の希望や予備知識などを踏まえて決めるが、 加群のホモロジー代数・有限群の線型表現・代数的整数論などの 基本事項を予定している。
環論の復習と補足・加群のホモロジー代数・有限群の線型表現・代数的整数論 などから、受講生と相談しつつ内容を決めて講義する予定。
必要なら適宜参照せよ。
配ったプリント [アンケート(pdf,6KB) ]
環論の復習。環の定義と例。 非可換環は加法群の自己準同型環として典型的に現れる。 剰余環。分数化・局所化。
環論の補足。分数化・局所化。Spec(R)。
環の作用・加群。完全列。五補題。
完全列。五補題。蛇補題。Hom加群。引戻し・押出し。Homの左完全性。
分裂完全列。射影加群・入射加群。テンソル積。
テンソル積。係数拡大。随伴同型。テンソル積の右完全性。平坦加群。
鎖複体。ホモロジー長完全列。
(コ)ホモロジー長完全列の例。Ext,Tor。
群コホモロジー。
群コホモロジーの例。ガロアコホモロジー・クンマー列。
群の線型表現。アーベル群の場合。 例: G=Ｒ/Ｚ (Fourier展開は双対空間上の関数)。
群の線型表現。アーベル群の場合。 例: G=Ｒ (Fourier変換は双対空間上の関数)。 例: G=Ｚ/mＺ。
有限群の線型表現。完全可約性(任意の部分表現は直和因子)。
有限群の線型表現。完全可約性(続き)。表現のテンソル積。対称テンソル代数。 双対(反傾)表現。
表現の指標。
有限群の線型表現。群の共役類。指標の直交関係。
有限群の線型表現。既約指標全体が類関数の空間の正規直交基底を成すこと。 誘導表現・Frobeniusの相互律。指標表の例: 巡回群・二面体群・4次対称群。
期末試験は行なわない。出席状況・授業参画などにより、総合的に評価する。