(変分法の場合は積分した結果F[f(x)]について、f(x)をf(x)+δf(x)とずらします)
第二回(4/20)のコメント「変分法について」
コメント数の多かった順番に記すと、
2.
極値(停留値)を求めるのに、なぜ変数をずらしてみるのか
3.
途中の計算が難しすぎる
8.
ラグランジアンの中のqやq'は時間変化するものなのだから、ラグランジアンは時間を変数として含んでいるのではないか。それをqやq'で偏微分したり、あるいは時間が一様だからLは時間を含まないはず、と云う意味がわからない。
などでした(他にもいくつかありました)。回答は以下の通りです。
一般に「○×するような関数を求めよ」という場合に使います。有名な問題としては、
二点間を最短距離で結ぶような関数(答＝直線)
二点間に張った紐の位置エネルギーが最小になるような関数(答＝懸垂曲線cosh)
質点を転がしたときに最短時間で到着するような関数(答＝サイクロイド)
同じ長さの紐で囲める最大面積の図形を表す関数(等周問題、答＝円)
などがあります。もっと具体的に云うと、「積分の極値を求める」場合に使います。力学の問題に限った話ではなく、量子力学で超伝導の問題を研究する場合にも使われました。変分法は、微分のように単に値を求めるのではなく、関数そのものが求まってしまうと云う大変強力なテクニックです。
最後の等周問題について計算を示して置きますが、計算自体はちょっと複雑です。
A2) 関数の極値(停留値)を求めるのに、なぜ変数をずらしてみるのか
のです。慣れることが必要です。
関数をテイラー展開してみると意味が一目瞭然になります。
(変分法の場合は積分した結果F[f(x)]について、f(x)をf(x)+δf(x)とずらします)
ですが、dxが非常に小さい場合は、(dx)^2の項を無視できて
となります。
すると、x0を定数と思うと、
となり、これは勾配bの直線ですから極値ではありません。これに対し、
もし、b=f'(x0)が完全にゼロならば、(dx)^2の項が効いてきて、
となり、これはx0を底とする放物線ですから、確かに極値です。
ポイントは、変分そのものの取り方と、部分積分のところでしょう。
二点間を最短距離で結ぶ曲線の問題について少し詳しく記すと、
--------------------
○変分の取り方
束縛条件はありませんから、距離
を最小にするだけです。
変分の定義は、
δS=S[f+δf]-S[f]
ですから、計算方法は微分(テイラー展開)と全く同じで、
δS=S'[f]·δf
=∫dx·f'(x)·δf'(x)/√(1+f'(x)^2)
これが任意のδfについてゼロになれば良いというわけです。
(但し、δfは積分範囲の任意のxについて非常に小さく、かつ、
積分の始点と終点ではゼロという条件が付いています)
--------------------
○
ところが、積分の中身に入っているのはδf'であり、δfでは
ありません。たとえδfが任意でも、δf'がどうであるかはわ
からないので部分積分でδf'を消去します。
(この問題は簡単なので、積分の中にδf'しか出てきませんが、
もっと複雑な問題では、δfとδf'の両方が出てくるので消去
が必ず必要になります。
さて、部分積分の定義は、積分区間をx1~x2とすると、
∫dx·g(x)h(x)={G(x2)h(x2)-G(x1)h(x1)}-∫dx·G(x)h'(x)
但し、G(x)=∫dx·g(x)
ですから、前項の式で、
g(x)≡
δf'(x)
h(x)≡ f'(x)/√(1+f'(x)^2)
とおいて適用すれば、
変数に対する条件です。変数が勝手な値を取れるのではなく、
条件がついている
二変数の束縛条件の例： x^2+y^2=1 ── 原点を中心とした半径1の円。
⇒束縛条件がないとは：(x,y)はそれぞれ任意の値をとることがでる。
⇒束縛条件が付くとは：上式を満たす(x,y)の値のみが許される。
何の関係もありません。ただ、同時に使用される場合もあります。
同様に、オイラー・ラグランジュの運動方程式と、ラグランジュの未定乗数法
も全く無関係です。
指摘することとは、講義のより深い理解につながります。大学の講義は
知識や技術ではなく、「理解」を伝えることが目的です。
です。なお、実数のxに対しては常に実数の値をとります。
A8)ラグランジアンの中のqやq'は時間変化するものなのだから、
ラグランジアンは時間を変数として含んでいるのではないか。