等周問題                                                      <<<戻る

長さが同じ紐で囲める最大の面積とその形を求める。結果はもちろん「円」になります。

紐の長さを定数L₀、紐の形を表す関数をf(x)、とします。
すると、 面積はF[f]=∫dx·f(x)、紐の長さはL[f]=∫dx·√(1+f'(x)^2)
ですから、束縛条件は、L[f]-L₀=0です。よって、ラグランジュの
未定乗数法により、もうひとつの定数λを導入して、新しい関数

    G[f,λ]=F[f]-λ·{L[f]-L₀}

が極値を取るような関数f(x)とλを探せばよいのです。
これは、Gについて変分を取って(計算は微分と全く同じ)、

    δG=δ∫dx·{f+λ·√(1+f'^2)}  

    　　=∫dx·{δf+λf'δf'/sqr(1+f'^2)}

となります。L₀とλは定数です。記号^はベキ乗を表します。

次に、δf''(x)を消去するために部分積分して、

    =∫dx·{δf-λf"δf/√(1+f'^2)+λf'^2f"δf/√(1+f'^2)^3}

    =∫dx·δf·{1-λf"/√(1+f'^2)+λf'^2f"/√(1+f'^2)^3}

を得ます。これが任意のδf(x)についてゼロにならなければなりませんから、

{····}の中身がゼロになるはずです。よって、

    0=[√(1+f'^2)^3-λf"·(1+f'^2)+λ·f'^2·f"]/√(1+f'^2)^3

     =√(1+f'^2)^3-λ·f"

という微分方程式を得ます。これは一階の微分方程式(f'とf"しかないので
実質的に一階)ですから、簡単に変数分離で解くことが出来るのですが、結果が
円になることを知っているのですから、それを代入してみることにします。

まず、円の形は f=√(1-x^2)で、これを微分すれば、

    f'=-x/sqr(1-x^2)

    ∴1+f'^2=1+x^2/(1-x^2)=1/(1-x^2)

    f"=-1/√(1-x^2)-x^2/√(1-x^2)^3

      =-[1-x^2+x^2]/√(1-x^2)^3

      =-1/√(1-x^2)^3

となりますから、これらを代入すれば、

    √(1+f'^2)^3-λ·f"=√(1/(1-x^2))^3-λ·(-1/√(1-x^2)^3)

     =1/√(1-x^2)^3+λ/√(1-x^2)^3

となり、λ=-1と置けば確かにゼロになります。 終わり。   <<<戻る