代数学III（ガロア理論）・講義内容と予定

秋学期・木曜2時限・市谷本館201教室

期末試験のお知らせ

期日：2019年1月24日(木)（期末試験期間中）
時間：11:00 ～ 12:30（通常通り）
教室：四谷キャンパス6-204教室（いつもと違うので注意！！）
内容：今期に講義した範囲（体論・Galois理論）が中心であるが、その基礎として代数（群論・環論）の基礎事項も含まれる。
ノート・プリント・参考書等参照不可。その他一般的な注意に順うこと。学生証必携。

お知らせ

授業時のプロジェクタ資料を掲載する予定です。各授業日の項から見て下さい。但し、各授業中の前回の復習部分を含んでいるので、内容に重複があることがあります。印刷時には必要なページだけ印刷するなどして下さい。

講義概要

「この方程式は平方根だけじゃ解けないなぁ」「君は実に…方程式を解くのが下手なんだなぁ」「そうじゃなくて平方根だけじゃ解けないことが証明できるんだよ」「え？どゆこと？」

方程式の解法理論から生まれたガロア理論は、現代では体の拡大の理論として定式化され、さらに様々に一般化されて数学のあちこちに現れている。本講義では、方程式の古典解法から始め、体論の基礎事項の後に、体の拡大の理論としてのガロア理論を扱い、最後にガロア理論を踏まえて古典解法を再訪する。

数学を学んでガロア理論を知らずば画竜点睛を欠く。さぁ君もいますぐ登録。

講義計画

今までの代数系科目（代数学基礎・代数学I（群論）・代数学II（環と加群））を踏まえて、体論およびガロア理論について講義する。体論の基礎事項として、体の構成・代数拡大・超越拡大・代数閉体・拡大次数・共役・正規拡大・分離拡大などの概念を導入した後、ガロア理論の基本定理を紹介し、基本的な例として有限体・円分体・クンマー拡大などに触れる。併せて古典的な問題意識として方程式の解法理論や作図問題との関連にも時間があれば触れたい。受講生の予備知識・理解度に合わせて、適宜進度を見直すことがある。

導入：代数方程式の古典的な解法探求
環と体・体の構成（分数化・剰余環）
体の拡大（拡大次数・代数拡大・超越拡大）
代数拡大（単拡大・最小多項式・拡大次数の連鎖律・根体・分解体・代数閉体・代数閉包）
有限次代数拡大の基本的な不等式・共役・正規拡大
標数・有限体・分離元・分離拡大
体拡大の自己同型群・ガロア拡大・ガロア群・ガロア理論の基本定理・ガロア対応
例：円分体・有限体・巡回クンマー拡大
ガロア群の計算例と方程式の古典解法
などなど

主な参考書

中野伸「ガロア理論・その標準的な入門」(サイエンス社・SGCライブラリ27・ISSN 0386-8257)
中島匠一「代数方程式とガロア理論」(共立出版・共立叢書現代数学の潮流・ISBN：978-4320016965)
雪江明彦「代数学 2 環と体とガロア理論」(日本評論社・代数学シリーズ・ISBN：978-4535786608)
足立恒雄「ガロア理論講義[増補版]」(日本評論社・日評数学選書・ISBN：978-4535601413)
藤崎源二郎「体とガロア理論」(岩波書店・岩波基礎数学選書・ISBN：978-4000078139)
木村俊一「ガロア理論」(共立出版・数学のかんどころ14・ISBN：978-4320019942)
飯高茂「体論, これはおもしろい－方程式と体の理論」(共立出版・数学のかんどころ18・ISBN：978-4320019980)
J.P.Tignol著・新妻弘訳「代数方程式のガロアの理論」(共立出版・ISBN：978-4320017702)
その他「ガロア理論」と付く本はたくさん出版されているので、書店・図書館などで自ら見比べて自分に合ったものを選んでもらいたい。
また入学以来の各関連科目のノートを充分に活用されたい。

講義内容

第1回：09/27

配ったプリント [page 0(pdf,13KB) |アンケート(pdf,5KB) |演習1(pdf,7KB) ] ・プロジェクタ資料 [09/27授業時(pdf,30KB) |09/27印刷用(pdf,25KB) ]

本講義の概観（Galois理論とは）。今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。古典的な方程式論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。 4次方程式の根の公式(Ferrari)。

第2回：10/04

プロジェクタ資料 [10/04授業時(pdf,42KB) |10/04印刷用(pdf,34KB) ]

3次・4次方程式の古典的な解法理論を題材としたGalois理論の予告編。 3次方程式の所謂"不還元の場合"について。二重根号と複二次式とFerrariの解法。

数体系の拡張。「数」とは何か。

第3回：10/11

環の基本事項の復習。可逆元・乗法群。整域・体。イデアル・剰余環。準同型。

第4回：10/18

環の基本事項の復習。準同型の核・像。準同型定理。素元・既約元。素イデアル・極大イデアル。ユークリッド整域・単項イデアル整域・一意分解整域。特に体上の一変数多項式環での整除原理。

第5回：10/25

体の構成（分数化・剰余環）。

11/01

「創立記念日」につき、本授業なし。

第6回：11/08

体の拡大。拡大体の共通部分・合併体。生成する体。拡大次数。体上代数的・超越的。

第7回：11/15

配ったプリント [演習2(pdf,9KB) ]

拡大次数の連鎖律。体の代数拡大・超越拡大。体の代数拡大（定義・構成）とその拡大次数。有限次拡大は代数的。

第8回：11/22

体の代数拡大。根体・最小分解体。代数閉体・代数閉包。

第9回：11/29

代数閉体・代数閉包（続き）。体の自己同型・埋め込み。有限次代数拡大の基本的な不等式。

第10回：12/06

有限次代数拡大の基本的な不等式。共役・正規拡大。分離拡大。

第11回：12/13

配ったプリント [演習3(pdf,8KB) ]

有限次代数拡大の基本的な不等式。分離拡大。体の標数。Frobenius準同型。有限体。

第12回：12/20

配ったプリント [page 1～4(pdf,57KB) |演習4(pdf,9KB) ]

有限次代数拡大の基本的な不等式（補足）。非分離拡大の例。有限次分離拡大は単拡大。

Galois理論とは。Galois拡大・Galois群。Galois理論の基本定理。 Galois対応の例：(2,2)型。

第13回：01/10

Galois理論の基本定理（証明）。Galois拡大の推進定理。 Galois群と根の置換。判別式。 Galois対応の例：S_3, 複二次式(D_4)。

第14回：01/17

円分体のGalois理論。円分多項式。有限体とそのGalois理論。巡回Kummer拡大。

01/24

期末試験を行なう。