Galois理論では、与えられた多項式に対して その分解体のGalois群を求めることが第一の問題となるが、 逆に、与えられた有限群に対してそれをGalois群に持つ体拡大・多項式の存在や、 実際にそれを求めることにも興味が向く。 これを「Galoisの逆問題(構成問題)」と呼ぶ。 このGalois群の構成問題に関する幾つかの手法の初歩を講義する。 一般的な理論に乗る部分もあるが、 実際には扱う体や有限群の個性が強く影響し、一筋縄でいかない所がある。 特に実例を多く扱うことで「計算する数学」の面白さを思い出してもらいたい。
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本講義の概観(「Galoisの逆問題(構成問題)」とは)。
今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。 古典的な方程式論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。
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古典的な方程式論(続き)。4次方程式の根の公式(Ferrari)。 Lagrangeの考察。
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多項式のGalois群(根の置換)。体拡大の自己同型群としてのGalois群との関係。 Galois理論の復習。
創立記念行事日につきお休み。
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Galois理論の復習。正規拡大・分離拡大。
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Galois群の計算。判別式。解核多項式(resolvent)。
Galois群の計算例(続き)。判別式。解核多項式(resolvent)。 Mapleによる分解式の計算の実演。