秋学期・金曜3時限・3-227教室
「0.999…って大体1だよね。」 「大体ってなんだよ。ちょうど1だよ。」 「え？そうなの？」
実数全体の集合Ｒは多くの数学的現象の基本的な場であり、 ただ数が集まった集合であるだけでなく、 四則演算が出来るという代数構造、 大きい／小さいという順序構造、 近い／遠い・収束・極限という距離・位相構造を備えていることが重要である。 本講義の前半では、 より基本的な数である自然数から実数を構成する道筋を辿ることで 実数の基礎付けを行ない、 後半では、実数の基本的な構造の中でも特に距離・位相構造に焦点を当てて、 幾何学・解析学が展開する場としての実数の基本性質を講義する。 集合・写像・同値関係などの用語を用いるので、 「現代数学A」（或いはそれに準じる科目）を学んでいることが望ましい。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,14KB) |アンケート(pdf,8KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
「0.99999…‥…=1？」を巡って。 数体系の概観(自然数Ｎ・整数Ｚ・有理数Ｑ・実数Ｒ・複素数Ｃ)。
配ったプリント [演習(1)(pdf,16KB) ]
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成(1)。同値関係・類別・商集合。
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成(2)。有理数の和・積の定義とそのwell-definedness。
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成(補足)。自然数Ｎを基にした整数Ｚの構成。
自然数Ｎの基礎付け(1)。空集合からの構成。
配ったプリント [演習(2)(pdf,12KB) ]
自然数Ｎの基礎付け(2)。Peanoの公理系。Ｎの加法・乗法の定義。 数学的帰納法を駆使した基本諸性質の証明。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(1)。Dedekindの切断。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(2)。Dedekindの切断（続き）。順序に関する完備性。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(3)。ε-δ論法による収束の定式化。 $\sqrt{2}$ に収束する有理数列をいろいろ作ってみる。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(4)。ε-N論法による証明の練習。Cauchy列。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(5)。Cauchy列を用いた完備化。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(6)。Cauchy列の収束(完備性)。
配ったプリント [page 1〜6(まとめ並びに演習問題および補足)(pdf,56KB) |演習(3)(pdf,19KB) ]
公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性(実数の連続性)(1)。 Dedekintの切断の公理。有界集合の上限・下限の存在。有界単調数列の収束。 有界数列の上極限・下極限の存在。
配ったプリント [page 7〜8(まとめ並びに演習問題および補足)(pdf,35KB) ]
公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性(実数の連続性)(2)。 有界数列の集積点の存在(Bolzano-Weierstrassの定理)。 Archimedes性。区間縮小法の原理。Cauchy列の収束(完備性)。
金曜日ではあるが「見做し月曜日」で本授業なし。
関数の収束・極限(所謂「ε-δ論法」)。関数の連続性。中間値の定理。
期末試験を行なった。 [期末試験問題(pdf,36KB)]