現代数学B・講義内容と予定


秋学期・金曜3時限・4-175教室


期末試験のお知らせ

講義概要

「0.999…って大体1だよね。」 「大体ってなんだよ。ちょうど1だよ。」 「え?そうなの?」

実数全体の集合Rは多くの数学的現象の基本的な場であり、 ただ数が集まった集合であるだけでなく、 四則演算が出来るという代数構造、 大きい/小さいという順序構造、 近い/遠い・収束・極限という距離・位相構造を備えていることが重要である。 本講義の前半では、 より基本的な数である自然数から実数を構成する道筋を辿ることで 実数の基礎付けを行ない、 後半では、実数の基本的な構造の中でも特に距離・位相構造に焦点を当てて、 幾何学・解析学が展開する場としての実数の基本性質を講義する。 集合・写像・同値関係などの用語を用いるので、 「現代数学A」(或いはそれに準じる科目)を学んでいることが望ましい。

講義計画

以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。

主な参考書

講義内容

第1回:09/30

配ったプリント [page 0(pdf,11KB) |アンケート(pdf,6KB) ]

本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。

「0.99999…‥…=1?」を巡って。 数体系の概観(自然数N・整数Z・有理数Q・実数R・複素数C)。

第2回:10/07

配ったプリント [演習(1)(pdf,12KB) ]

整数Zを基にした有理数Qの構成(1)。同値関係・類別・商集合。

第3回:10/14

整数Zを基にした有理数Qの構成(2)。有理数の和・積の定義とそのwell-definedness。

第4回:10/21

整数Zを基にした有理数Qの構成(補足)。自然数Nを基にした整数Zの構成。

自然数Nの基礎付け(1)。空集合からの構成。

第5回:10/28

配ったプリント [演習(2)(pdf,9KB) ]

自然数Nの基礎付け(2)。Peanoの公理系。Nの加法・乗法の定義。 数学的帰納法を駆使した基本諸性質の証明。

第6回:11/04

有理数Qを基にした実数Rの構成(1)。順序による完備化:Dedekindの切断。

第7回:11/11

有理数Qを基にした実数Rの構成(2)。Dedekindの切断(続き)。順序に関する完備性。

第8回:11/18

有理数Qを基にした実数Rの構成(3)。 収束・極限の観点からの考察:ε-δ論法による数列の収束の定式化。 ε-N論法による証明の例(極限の一意性)。 "$\sqrt{2}$" に収束する有理数列。

第9回:11/25

有理数Qを基にした実数Rの構成(4)。 Cauchy列を用いた完備化。Cauchy列の収束(完備性)。

12/02

出張のため、休講

第10回:12/09

有理数Qを基にした実数Rの構成(5)。Cauchy列を用いた完備化(続き)。

公理による実数の特徴付け(実数の連続性)。

第11回:12/16

配ったプリント [page 1〜6(まとめ並びに演習問題および補足)(pdf,50KB) |演習(3)(pdf,15KB) ]

公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性(実数の連続性)(1)。 Dedekindの切断の公理。有界集合の上限・下限の存在。有界単調数列の収束。 有界数列の上極限・下極限の存在。 有界数列の集積点の存在(Bolzano-Weierstrassの定理)。

01/06

金曜日ではあるが「見做し水曜日」で本授業なし

第12回:01/13

公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性(実数の連続性)(2)。 有界数列の集積点の存在(Bolzano-Weierstrassの定理)。 Archimedes性。区間縮小法の原理。Cauchy列の収束(完備性)。

第13回:01/20

配ったプリント [page 7〜8(まとめ並びに演習問題および補足)(pdf,30KB) ]

公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性(実数の連続性)(3)。

関数の収束・極限(所謂「ε-δ論法」)。 関数の連続性。中間値の定理。

01/27

期末試験を行なった。 [期末試験問題(pdf,30KB)]