秋学期・金曜3時限・6-404教室
授業時のプロジェクタ資料を掲載する予定です。 各授業日の項から見て下さい。 但し、各授業中の前回の復習部分を含んでいるので、内容に重複があります。 印刷時には必要なページだけ印刷するなどして下さい。
「0.999…って大体1だよね。」 「大体ってなんだよ。ちょうど1だよ。」 「え？そうなの？」
実数全体の集合Ｒは多くの数学的現象の基本的な場であり、 ただ数が集まった集合であるだけでなく、 四則演算が出来るという代数構造、 大きい／小さいという順序構造、 近い／遠い・収束・極限という距離・位相構造を備えていることが重要である。 本講義の前半では、 より基本的な数である自然数から実数を構成する道筋を辿ることで 実数の基礎付けを行ない、 後半では、実数の基本的な構造の中でも特に距離・位相構造に焦点を当てて、 幾何学・解析学が展開する場としての実数の基本性質を講義する。 集合・写像・同値関係などの用語を用いるので、 「現代数学A」（或いはそれに準じる科目）を学んでいることが望ましい。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,13KB) |アンケート(pdf,6KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
「0.99999…‥…=1？」を巡って。 等式・等号について、改めて考える。 数体系の概観（自然数Ｎ・整数Ｚ・有理数Ｑ・実数Ｒ・複素数Ｃ）。
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成(1)：同値関係・類別・商集合。
配ったプリント [演習(1)(pdf,13KB) ]
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成(2)：整数の組の同値類としての有理数の構成。 有理数の和・積の定義とそのwell-definedness。
整数Ｚを基にした有理数Ｑの構成（補足）。自然数Ｎを基にした整数Ｚの構成。
自然数Ｎの基礎付け（予告編）。
配ったプリント [演習(2)(pdf,9KB) ]
自然数Ｎの基礎付け(1)：空集合からの構成
自然数Ｎの基礎付け(2)：Peanoの公理系。Ｎの加法の定義。 数学的帰納法を駆使した基本諸性質の証明。
火曜日であるが「見做し金曜日」のため、本授業を行なう。
自然数Ｎの基礎付け(2)：Peanoの公理系（続き）。 Ｎの加法・乗法・大小関係の定義。 数学的帰納法を駆使した基本諸性質の証明。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(1)：Dedekindの切断（順序による完備化）。
「ソフィア祭」実施による授業休講日のため、本授業なし。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(2)：Dedekindの切断（続き）。順序に関する完備性。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(3)：収束・極限の観点からの考察。 ε-N論法による数列の収束の定式化。 ε-N論法による証明の例（極限の一意性など）。 "$\sqrt{2}$" に収束する有理数列。
「勤労感謝の日」であるが、授業実施日である。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(4)：Cauchy列を用いた完備化。 Ｒを有理Cauchy列の同値類として構成する。加法・乗法の定義。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(5)：Cauchy列を用いた完備化（続き）。 順序（大小関係）・除法の定義。 Cauchy列の収束（完備性）。
有理数Ｑを基にした実数Ｒの構成(6)：Cauchy列を用いた完備化（続き）。
公理による実数の特徴付け（紹介）。
配ったプリント [page 1〜6（まとめ並びに演習問題および補足）(pdf,52KB) ]
公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性（実数の連続性）(1)。 Dedekindの切断の公理。有界集合の上限・下限の存在。有界単調数列の収束。 有界数列の上極限・下極限の存在。 有界数列の集積点の存在（Bolzano-Weierstrassの定理）。
配ったプリント [演習(3)(pdf,15KB) ]
公理による実数の特徴付け・実数の諸性質の同値性（実数の連続性）(2)。 Archimedes性。区間縮小法の原理。Cauchy列の収束（完備性）。
配ったプリント [page 7〜10(まとめ並びに演習問題および補足)(pdf,44KB) ]
関数の収束・極限（所謂「ε-δ論法」）。
関数の連続性。実数の連続性と中間値の定理。
期末試験を行なう。