秋学期・火曜2時限・9-353教室
上智大学の学部シラバス内の本授業のページ [数の世界]
小学校の算数以来馴染みの深い「数」、とりわけ「整数」の振舞いについて、 様々な奥深い現象を紹介する。 剰余と合同式、ユークリッドの互除法による最大公約数の計算法、 素数の概念の意義と見直し、方程式の解法理論の歴史などの話題に加え、 暗号など近年の情報化社会における応用などを通じて、 数理現象の探求が数理技術として活用されている様子にも触れる。 高校の「数学II・数学B」程度の予備知識を想定する。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,13KB) |アンケート(pdf,7KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
整除性(割り切れる／割り切れない)についての小ネタ。
配ったプリント [演習(1)(pdf,9KB) ]
整除。合同式。
配ったプリント [演習(2)(pdf,7KB) ]
合同式。整数に関する割算の原理。ユークリッドの互除法。
ユークリッドの互除法拡張版。最大公約数の特徴付け。
配ったプリント [演習(3)(pdf,11KB) ]
ユークリッドの互除法拡張版・合同式に於ける除算。有限体。 互いに素。中国式剰余定理(孫子の定理)。
数体系の拡張。同値関係による商。 実数から複素数へ(多項式環の商)。
配ったプリント [演習(4)(pdf,12KB) ]
数体系の拡張。整数から有理数へ(分数化)。定義の well-definedness について。
配ったプリント [演習(5)(pdf,12KB) ]
数体系の拡張。整数から有理数へ(補足)。自然数から整数へ。
実数と近似。Newton-Raphson法による sqrt(2) の有理数近似。
配ったプリント [演習(6)(pdf,8KB) ] ・プロジェクタ資料 [11/27授業時(pdf,35KB) |11/27印刷用(pdf,29KB) ]
今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。 方程式の古典的な解法理論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。
プロジェクタ資料 [12/04授業時(pdf,37KB) |12/04印刷用(pdf,32KB) ]
方程式の古典的な解法理論。3次方程式の解法と"不還元の場合"。 4次方程式の根の公式(Ferrari)。その後の展開。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解。
配ったプリント [page 1,2(レポート問題の例)(pdf,36KB) ]
不定方程式 x^2+y^2=3 の有理数解および X^2+Y^2=3Z^2 の整数解の非存在。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解を、 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] を使って考える。
配ったプリント [page 3,4(レポート問題の例)(pdf,33KB) ]
素数の概念の意義と見直し。素因数分解の一意可能性およびその喪失と回復。
火曜日であるが見做し月曜日のため、本授業なし。
プロジェクタ資料 [01/22授業時(pdf,146KB) ] ・配ったプリント [アンケート(pdf,5KB) ]
整数の数理の応用。公開鍵暗号(RSA暗号)。
期末試験は行なわない。今までの演習課題と期末レポートとにより評価する。