代数6・講義内容と予定

準備中

秋学期・月曜3時限・14-717B教室

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講義概要

代数的整数論において基礎的な代数体の整数環・イデアル・単数などについての基本事項について講義する。後半では、受講生の知識・興味などに応じて、二次体などでの具体例の計算やその他のトピックスなどに触れたい。数論で扱う対象は馴染みの深い数であり、具体的に計算できるところが面白い。理論と実例計算とが結び付くようにしたい。整数論の奥深さに触れたい人も、計算が好きな人も、挙って登録を。

授業の到達目標

代数体の整数環・イデアル・単数などについての基本事項について理解する。具体例についての計算などを通じて理解を深める。

授業計画

受講生の予備知識・理解度・興味などに応じて、適宜見直す予定。

前半：代数的整数論の基礎的事項（代数体の整数環・イデアルおよびイデアル類群・単数群など）
後半：2次体などでの具体例の計算や幾つかのトピックス

主な参考書

高木貞治「代数的整数論」（岩波書店・ISBN: 978-4000056304）
青木昇「素数と2次体の整数論」（共立出版・数学のかんどころ15・ISBN: 978-4320019959）
雪江明彦「整数論１・初等整数論からp進数へ」（日本評論社・ISBN: 978-4535787360）
雪江明彦「整数論２・代数的整数論の基礎」（日本評論社・ISBN: 978-4535787377）
その他「代数的整数論」と付く本はたくさん出版されているので、書店・図書館などで自ら見比べて自分に合ったものを選んでもらいたい。
また入学以来の各関連科目のノートを充分に活用されたい。

講義内容

第1回：09/28

配ったプリント [page 0(pdf,12KB) |アンケート(pdf,9KB) ]

導入：不定方程式 x²+y²=z² などの整数解を巡って。

第2回：10/05

体の代数拡大の復習と補足。代数的整数とは。

第3回：10/12

「体育の日」であるが授業実施日である。

代数的数・代数的整数。整拡大。有限次代数体とその整数環。例：2次体の整数環。

第4回：10/19

有限次代数体とその整数環。2次体の整数環の決定。判別式。

第5回：10/26

補足：単因子論。有限次代数体の整数環(続き)。

第6回：11/02

判別式。多項式の判別式の計算法。

不定方程式 x²-dy²=z² の整数解を巡る議論の反省。

第7回：11/09

不定方程式 x²+5y²=z² の整数解を巡って。既約⇔素／既約分解の一意性／素元分解の可能性、が崩れる例。

整数環のideal。単項でないideal。idealのノルム。 ideal論の基本定理（素ideal分解の一意可能性）に向けて。

第8回：11/16

整数環のideal。 ideal論の基本定理（素ideal分解の一意可能性）。分数ideal。Dedekind整域。賦値。

第9回：11/23

「勤労感謝の日」であるが授業実施日である。

ideal論の基本定理（素ideal分解の一意可能性）。賦値。局所化。

第10回：11/30

ideal論の基本定理（素ideal分解の一意可能性）。 idealによる剰余環の構造。

第11回：12/07

idealによる剰余環の構造。ノルムの乗法性。賦値による距離（p進距離）。p進体の紹介。

第12回：12/14

素数の素ideal分解について。ideal類群（類数）の有限性。

第13回：12/21

配ったプリント [page 1～4(pdf,58KB) ]

ideal類群（類数）の有限性。Minkowskiの数の幾何。

01/11

「成人の日」につき、本授業なし。

第14回：01/18(予定)

単数群。Dirichletの単数定理。

第15回：01/25(予定)

Dirichletの単数定理(続き)。

幾つかの例。

第16回：02/01(予定なし)

期末試験は実施しない。期末レポート提出のこと。授業中にレポート問題として残したところやレポート問題の例として配布したプリントの中などから適切に取り組んで提出されたい。