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レポート課題プリント [page 1,2(pdf,41KB,12/13授業時配布) |page 3(pdf,28KB,01/17授業時配布) ]
Galois理論では、 与えられた多項式に対してその分解体のGalois群を求めることが第一の問題となるが、 次には逆に、与えられた有限群に対して それをGalois群に持つ体拡大・多項式の存在や、 実際にそれを求めることにも興味が向く。 このような「構成的Galois理論」について、 予備知識の補足を交えながら、幾つかの手法の初歩を講義する。 一般的な理論に乗る部分もあるが、実際には扱う体や有限群の個性が強く影響し、 一筋縄でいかない所がある。 古典的な方程式解法理論を全体の導入として、 特に実例を多く扱うことで「計算する数学」の面白さを思い出してもらいたい。
受講生の予備知識・理解度に合わせて、適宜進度を見直すことがある。
配ったプリント [page 0(pdf,15KB) |アンケート(pdf,8KB) ] ・プロジェクタ資料 [09/27授業時(pdf,39KB) |09/27印刷用(pdf,31KB) ]
出張等の都合により、初回はイントロのみに留め、30分〜1時間程度で終了する。
本講義の概観(「Galoisの逆問題(構成問題)」とは)。 今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。
プロジェクタ資料 (授業時には用いなかったが、準備はしていたので、まとめ資料として掲載しておく) [10/04印刷用(pdf,28KB) ]
古典的な方程式論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。 4次方程式の根の公式(Ferrari)。
配ったプリント [演習1(pdf,10KB) ]
3次・4次方程式の解法の演習。 3次方程式の所謂"不還元の場合"について。 二重根号と複二次式とFerrariの解法。
Lagrangeの考察。根の置換を考える。
多項式のGalois群(根の置換)。
多項式のGalois群(根の置換)。例: 複二次式の場合。 体拡大の自己同型群としてのGalois群と 多項式の根の置換群としてのGalois群との関係。
体の拡大のGalois理論の復習。Galois理論の基本定理。
Galois群の計算に向けて。
Galois群の計算。判別式。分解式(resolvent)。
Galois群の計算例: 3次の場合・4次の場合。 Mapleによる分解式の計算の実演。Cardano-Ferrariの分解式。
Galois群の計算。判別式。分解式(resolvent)。
Galois群の計算例: 3次の場合・4次の場合。Cardano-Ferrariの分解式。
配ったプリント [演習2(pdf,28KB) ]
Galois群の計算例: 5次の場合。Cayley-Weberの分解式。
「Galois群の構成問題」とは。
「Galois群の構成問題」とは。 パラメタ付の(有理関数体上の)多項式によるGalois群の構成。 粗筋: Ｃ(t)上から\overline{Ｑ}(t)上・Ｑ(t)上・Ｑ上へ。 多価関数のRiemann面。
パラメタ付の(有理関数体上の)多項式によるGalois群の構成。 Ｃ(t)上のGalois拡大の幾何的構成。基本群・被覆変換。被覆のGalois理論。
配ったプリント [page 1,2(pdf,41KB) ]
Ｃ(t)上から\overline{Ｑ}(t)上およびＱ(t)上への降下 (Weil降下・Galois剛性のお話だけ)。 Ｑ(t)上からＱ上へ。Hilbertの既約性定理。
パラメタ付き多項式の具体的構成。 例: 3次のC_3多項式・4次のD_4多項式・5次のD_5多項式(実演)。
臨時休業日につき、本授業なし。
配ったプリント [page 3(pdf,28KB) ]
生成的多項式。正規底定理。Kummer拡大。
期末レポート提出。
生成的多項式。Noether問題とその応用。 変数消去の方法(Groebner基底・広中-Buchbergerのalgorithm)。
期末試験は行なわない。 期末レポートを提出すること。