代数7・講義内容と予定

颱風による休講について

颱風の接近に伴い、10月8日の本講義は休講です。適切に補講を行なうか課題を出すことになっていますが、未定です。

レポート課題について

レポート課題プリント [page 1(pdf,35KB,12/17授業時配布) |page 2(pdf,28KB,1/7授業時配布) ]

提出期日: 1月28日(木)最終授業時
内容: 上掲プリントの「レポート問題の例」にある問題、および本講義に関連する内容について考察した問題について、何問か(内容の重みによって分量は適宜判断せよ) を考察して提出。

講義概要

Galois理論では、与えられた多項式に対してその分解体のGalois群を求めることが第一の問題となるが、次には逆に、与えられた有限群に対してそれをGalois群に持つ体拡大・多項式の存在や、実際にそれを求めることにも興味が向く。このような「構成的Galois理論」について、予備知識の補足を交えながら、幾つかの手法の初歩を講義する。一般的な理論に乗る部分もあるが、実際には扱う体や有限群の個性が強く影響し、一筋縄でいかない所がある。古典的な方程式解法理論を全体の導入として、特に実例を多く扱うことで「計算する数学」の面白さを思い出してもらいたい。受講生の理解度に合わせて、適宜進度を見直すことがある。

講義計画

古典的な方程式論(3次・4次方程式の根の公式)
Galois理論の復習
Galois群の計算(判別式・分解式)
Galoisの逆問題(構成問題)について
Galois群の構成の幾つかの方法の紹介 (Hilbertの既約性定理・Noetherの問題・Galois剛性など)
多項式の具体的構成の例
生成的多項式について
などなど

主な参考書

中野伸「ガロア理論・その標準的な入門」(サイエンス社・SGCライブラリ27・ISSN 0386-8257)
足立恒雄「ガロア理論講義[増補版]」(日本評論社・ISBN-10: 4535601410・ISBN-13: 978-4535601413)
J.P.Tignol, "Galois' Theory in Algebraic Equations" (World Scientific Publ.)
J.P.Serre, "Topics in Galois Theory" (Jones & Bartlett Publ., Research Notes in Math. vol.1)
Jensen, Ledet, Yui, "Generic Polynomials" (Cambridge University Press)
その他「ガロア理論」と付く本はたくさん出版されているので、書店・図書館などで自ら見比べて自分に合ったものを選んでもらいたい。
また入学以来の各関連科目のノートを充分に活用されたい。

講義内容

10/1

配ったプリント [page 0(pdf,15KB) |アンケート(pdf,7KB) ] ・プロジェクタ資料 [10/01授業時(pdf,54KB) |10/01印刷用(pdf,45KB) ]

本講義の概観(「Galoisの逆問題(構成問題)」とは)。

今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。古典的な方程式論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。

10/8(休講)

颱風の接近に伴い、10月8日の本講義は休講です。

10/15

プロジェクタ資料 [10/15授業時(pdf,54KB) |10/15印刷用(pdf,47KB) ]

古典的な方程式論(続き)。4次方程式の根の公式(Ferrari)。 Lagrangeの考察。根の置換を考える。

10/22

休講日につきお休み。

10/29

プロジェクタ資料 [10/29授業時(pdf,24KB) ]

多項式のGalois群(根の置換)。例:複二次式。

11/5

プロジェクタ資料 [11/5授業時(pdf,52KB) |11/5印刷用(pdf,46KB) ]

多項式のGalois群(根の置換)。例:複二次式(続き)。体拡大の自己同型群としてのGalois群との関係。 Galois理論の復習。

11/12

体の拡大の理論の復習。代数拡大と最小多項式。代数閉包。

11/19

体の拡大の理論の復習。正規拡大・共役。分離拡大。

11/26

プロジェクタ資料 [11/26授業時(pdf,52KB) |11/26印刷用(pdf,50KB) ]

体の拡大の理論の復習。体拡大の自己同型群としてのGalois群との関係(復習)。 Galois群の計算に向けて。

12/3

プロジェクタ資料 [12/3授業時(pdf,45KB) |12/3印刷用(pdf,44KB) ]

Galois群の計算。判別式。解核多項式(resolvent)。 Galois群の計算例: 3次の場合。

12/10

プロジェクタ資料 [12/10授業時(pdf,67KB) |12/10印刷用(pdf,59KB) ]

Galois群の計算。判別式。解核多項式(resolvent)。 Galois群の計算例: 4次の場合。 Mapleによる分解式の計算の実演。Cardano-Ferrariの分解式。

12/17

配ったプリント [page 1(pdf,35KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/17授業時(pdf,63KB) |12/17印刷用(pdf,61KB) ]

Galois群の計算例: 5次の場合。Cayley-Weberの分解式。パラメタ付の(有理関数体上の)多項式によるGalois群の構成。

1/7

配ったプリント [page 2(pdf,28KB) ] ・プロジェクタ資料 [1/7授業時(pdf,34KB) ]

パラメタ付の(有理関数体上の)多項式によるGalois群の構成。粗筋: Ｃ(t)上から$\overline{Ｑ}$(t)上・Ｑ(t)上・Ｑ上へ。Ｃ(t)上のGalois拡大の幾何的構成。

1/14(予定)

パラメタ付の(有理関数体上の)多項式によるGalois群の構成。Ｃ(t)上のGalois拡大の幾何的構成。被覆のGalois理論。Ｃ(t)上から$\overline{Ｑ}$(t)上およびＱ(t)上への降下 (Weil降下・Galois剛性のお話だけ)。Ｑ(t)上からＱ上へ。Hilbertの既約性定理。パラメタ付き多項式の具体的構成。例: 3次のC_3多項式・4次のD_4多項式・5次のD_5多項式(実演)。