秋学期・火曜2時限・3-426教室
小学校の算数以来馴染みの深い「数」、とりわけ「整数」の振舞いについて、 様々な奥深い現象を紹介する。 剰余と合同式、ユークリッドの互除法による最大公約数の計算法、連分数展開、 方程式の解法理論の歴史、素数の概念の意義と見直しなどの話題に加え、 暗号など近年の情報化社会における応用などを通じて、 数理現象の探求が数理技術として活用されている様子にも触れる。 高校の「数学II・数学B」程度の予備知識を想定する。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,13KB) |アンケート(pdf,8KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
数体系の概観(自然数Ｎ・整数Ｚ・有理数Ｑ・実数Ｒ・複素数Ｃ)。 整除性(割り切れる／割り切れない)についての小ネタ。
配ったプリント [演習(1)(pdf,10KB) ]
整除。整数に関する割算の原理。合同式。
配ったプリント [演習(2)(pdf,7KB) ]
合同式。最大公約数。ユークリッドの互除法とその拡張版。
配ったプリント [演習(3)(pdf,11KB) ]
ユークリッドの互除法とその拡張版。 最大公約数の特徴付け。合同式に於ける除算。有限体。 互いに素。中国式剰余定理(孫子の定理)。
有限体。Fermatの小定理。
「文化の日」につき、本授業なし。
プロジェクタ資料 [11/10授業時(pdf,99KB) |11/10印刷用(pdf,67KB) ] ・ 配ったプリント [演習(4)(pdf,19KB) ]
整数の数理の応用：秘密分散。暗号(概説:安全な情報通信を阻害するもの)。
プロジェクタ資料 [11/17授業時(pdf,102KB) |11/17印刷用(pdf,82KB) ]
整数の数理の応用：暗号。公開鍵暗号(RSA暗号)。鍵共有。
配ったプリント [演習(5)(pdf,9KB) ]
互除法と連分数展開。 実習：藁半紙を折って$\sqrt{2}$を連分数展開する。 $\sqrt{N}$ の連分数展開とそれから得られる近似分数。
配ったプリント [演習(6)(pdf,12KB) ]
$\sqrt{N}$ の連分数展開(補足)。 Newton-Raphson法による$\sqrt{2}$の有理数近似。
配ったプリント [演習(7)(pdf,10KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/08授業時(pdf,43KB) |12/08印刷用(pdf,34KB) ]
今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。 方程式の古典的な解法理論。3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。
配ったプリント [page 1,2(レポート問題の例)(pdf,38KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/15授業時(pdf,45KB) |12/15印刷用(pdf,36KB) ]
方程式の古典的な解法理論。3次方程式の解法と"不還元の場合"。 4次方程式の根の公式(Ferrari)。その後の展開。
配ったプリント [page 3,4(レポート問題の例)(pdf,34KB) ]
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解。 幾何的方法・初等整数論的方法。
不定方程式 x^2+y^2=3 の有理数解および X^2+Y^2=3Z^2 の整数解の非存在。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解を、 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] を使って考える。 「怪しい」証明が怪しいことの証明(整数の範囲・1の約数(単数)・素因数分解の一意可能性の崩れ)。
2次体の整数環 Ｚ[\sqrt{D}] の数論。 素数の概念の意義と見直し。素因数分解の一意可能性およびその喪失と回復。 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] での割算の原理。
期末試験は行なわない。折々の演習課題と期末レポートとにより評価する。