秋学期・火曜2時限・6-405教室
小学校の算数以来馴染みの深い「数」、とりわけ「整数」の振舞いについて、 様々な奥深い現象を紹介する。 剰余と合同式、ユークリッドの互除法による最大公約数の計算法、連分数展開、 方程式の解法理論の歴史、素数の概念の意義と見直しなどの話題に加え、 暗号など近年の情報化社会における応用などを通じて、 数理現象の探求が数理技術として活用されている様子にも触れる。 高校の「数学II・数学B」程度の予備知識を想定する。
以下は全体の予定であり、 受講生および担当者の興味などにより変更する場合もある。
配ったプリント [page 0(pdf,11KB) ]
本授業の概要・予定。半期の講義内容全般の概観・予告。
数体系の概観（自然数Ｎ・整数Ｚ・有理数Ｑ・実数Ｒ・複素数Ｃ）。 整除性（割り切れる／割り切れない）についての小ネタ。 整除。約数・倍数。∀と∃。
配ったプリント [アンケート(pdf,5KB) ]
整除。約数・倍数。整数に関する割算の原理（ユークリッド除法）。
配ったプリント [演習(1)(pdf,7KB) ]
整数に関する割算の原理（ユークリッド除法）。合同式。
配ったプリント [演習(2)(pdf,15KB) ]
最大公約数。ユークリッドの互除法。 ユークリッドの互除法とその拡張版。
ユークリッドの互除法とその拡張版。 最大公約数の特徴付け。互いに素。 合同式に於ける除算。中国式剰余定理（孫子の定理）。
素数。有限体。
プロジェクタ資料 [11/05授業時(pdf,53KB) |11/05印刷用(pdf,36KB) ] ・ 配ったプリント [演習(3)(pdf,16KB) ]
素数を法とする剰余系。有限体。
整数の数理の応用：秘密分散。
プロジェクタ資料 [11/12授業時(pdf,78KB) |11/12印刷用(pdf,53KB) ]
整数の数理の応用：暗号。概説：安全な情報通信を阻害するもの。公開鍵暗号（RSA暗号）。鍵共有。
配ったプリント [演習(4)(pdf,14KB) ]
素数を法とする剰余系。Fermatの小定理。
互除法と連分数展開。 実習：藁半紙を折って$\sqrt{2}$を連分数展開する。 $\sqrt{N}$ の連分数展開とそれから得られる近似分数。
配ったプリント [演習(5)(pdf,9KB) ]
$\sqrt{N}$ の連分数展開とそれから得られる近似分数。
Newton-Raphson法による$\sqrt{N}$の近似値の計算。 表計算ソフトウェアによる近似計算の実演。
ザビエル祭のため、授業なし。
配ったプリント [演習(6)(pdf,7KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/10授業時(pdf,31KB) |12/10印刷用(pdf,25KB) ]
今までに習った数学（算数）／人間と数学の歴史を振り返る。 方程式の古典的な解法理論。 3次方程式の根の公式(Fontana-Cardano)。4次方程式の根の公式(Ferrari)。
プロジェクタ資料 [12/17授業時(pdf,32KB) |12/17印刷用(pdf,27KB) ]
方程式の古典的な解法理論。3次方程式の解法："不還元の場合"。 高次多項式の判別式。 4次方程式の解法：複二次式と二重根号。その後の展開。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解。 幾何的方法・初等整数論的方法。比と射影直線。
代数的整数論的方法。不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解を、 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] を使って考える（怪しい版）。
不定方程式 x^2+y^2=3 の有理数解および X^2+Y^2=3Z^2 の整数解の非存在。
不定方程式 x^2+y^2=1 の有理数解と X^2+Y^2=Z^2 の整数解を、 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] を使って考える。 「怪しい」証明の怪しさについて （整数の範囲・1の約数（単数）・最大公約数・互いに素・素因数分解の一意可能性）。
素因数分解の一意可能性を巡って。 2次体の整数環 Ｚ[\sqrt{-D}] の数論の一端。 整数の拡張。既約な数への分解が一意でない例。 素数の概念の意義と見直し。素数と既約数とのずれ。
素因数分解の一意可能性を巡って。 2次体の整数環 Ｚ[\sqrt{-D}] の数論の一端。 整数の拡張。既約な数への分解が一意でない例。 素数の概念の意義と見直し。素数と既約数とのずれ。 素因数分解の一意可能性の喪失と回復。 ガウスの整数環 Ｚ[\sqrt{-1}] での割算の原理。
「Fermat予想」「ABC予想」の紹介と「ABC三つ組」の例。
期末試験は行なわない。折々の演習課題と期末レポートとにより評価する。