統計力学 2001年度　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<戻る

• 統計力学II(後期)の講義・試験は無事に終了しました。
  
• 期末試験 2月1日(金)　9:15-10:40@3-325(講義と同じ)、A4メモ持込可。
  • ニ準位系（古典統計)について、熱力学的諸量を求める。
  • ゆらぎを求めて、対応する物理量と比較する。
  • ニ準位系での量子統計と古典統計の違い(特にボソンと古典系)。
  • 分配関数を高温展開して、高温極限での物理量を求める。
    
    
• 第十一回１月25日(補講予定、場所は通常の講義と同じ)
  • 相転移のランダウによる現象論 
    一次相転移（過冷却・過加熱）、二次相転移
    
    
• [休講］ 1月18日、科研費成果報告会
  
  
• 第十回１月11日(予定)
  • 相互作用のある系 II   「多くの粒子が相互作用している場合」
    一次元イジングモデルの伝送行列による厳密解 （有限温度での相転移は無い）

  Q&A-9 (12/21受け取り分)

• 第九回 12月21日　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　<<<TOP
  • 相互作用のある系 I   「相互作用している二つのスピン」

  Q&A-8 (12/14受け取り分)
  
  ＊レポート９
  相互作用している二つのスピン(S =1/2)の磁化と比熱などを求めよ。
  2000年度の数理物理演習III(量子力学) 8 をやればよい。
  (問題へのリンクを直しました。 前のリンクをプリントした人は、
  J = -1, -2, -3, -4、すなわち、反強磁性的相互作用として下さい。)
  
  ヒント─ 一番目のスピンの波動関数を|1=↓>、二番目を|2=↓>などとすると、
  基底ベクトルは |1=↓>|2=↓>, |1=↑>|2=↓>, |1=↓>|2=↑>, |1=↑>|2=↑>
  の四つになります。
  イジング相互作用の場合は、この基底そのままでハミルトニアンは対角化
  されていますので簡単です。
  ハイゼンベルグ相互作用の場合は、S_1xとかS_2yが出てきます(S₁は１番目の
  スピンだけに、S₂は２番目のスピンだけに作用する）。
  これらは、昇降演算子を含んでおり、上の状態を変えてしまいますので、
  ハミルトニアンは対角化されていません。よって、基底の取り直し
  （≡ハミルトニアンの対角化）が必要になります。
  量子力学の教科書やノートを見返して下さい。
  
  もちろん、分配関数を求めるトレースはどの基底でとっても同じという
  事実を駆使して計算してもOKですが、この場合は、ハミルトニアンを含んだ
  指数関数の展開が出てきますので計算は簡単にはならないと思います。

• 第八回 12月14日
  • 粒子もどきのボース統計 ─ 固体の比熱（デバイモデル）
    
    Q&A-7 (12/07受け取り分)
    
    ＊レポート8
    
    三次元自由粒子のエネルギー
      
    三次元調和振動子のエネルギー（零点振動は除く）

  
三次元空洞内の電磁波の定在波のエネルギー
  

を参考にして、それぞれの状態密度を計算してみよ。なお自由粒子については復習である。また、二次元、一次元の場合についても計算してみよ。

• 第七回 12月07日　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　<<<TOP
  • ボース統計、ボース分布(2回目)、ボースアインシュタイン凝縮の例
  • 格子振動や光子など、粒子数不定のボース粒子
    
    Q&A-6 (11/30受け取り分)
    
    ＊レポート7 
    三次元の理想ボース気体について、粒子数を求める式の積分を和で、
    近似し、Excel等で、計算させることで、「自分の手」でボースアインシュタイン凝縮
    を起こしてみよう。
    
  • やり方：エネルギーをe=0.01〜10まで千分割し、積分を和で近似する。
    下式の和をExcelで計算するだけである。
    
  • Tは定数として自分で決める。
    mは、和（積分）が粒子数N に一致するように決める。
    
  • なお、両辺をAで割ると、N/A=S・・・・となるので、任意に決められる定数は一つだけ
    である。さらに、状態密度の係数Aには体積Vが入っているので、これが色々な値
    を取れるとして、たとえば、N/A=1の場合について調べてみることにする。
    
    
  • まず、k_BT =1の場合に、N =1となるように、m(k_BT =1) を決める。和=Nを逐一計算しながら、
    m< 0 を少しずつ変えながらN =1となるようにすればよい。
    
  • 次に、k_BT =0.9くらいに少し温度を下げて、やはり、mを少しずつ変えながら和の値を
    調べ、N =1となるようにmを決めればよい。
    
  • こうして行くと、いつか、いくら、mをゼロに近づけても、和が大きくなってくれない温度
    に到達する。それが、ボースアインシュタイン臨界温度である。
    
  • 注意─AやN に馬鹿正直にプランク定数や電子の質量やアボガドロ数などを代入し
    てしまわないこと。念のため。

• 第六回 11月30日　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　<<<TOP
  • ボーズ統計、ボーズ分布
  • 自由なボーズ粒子、ボースアインシュタイン凝縮
    
    Q&A-5 (11/16受け取り分)
    
• 訂正 ─ No.3あたりで自由なフェルミ粒子振る舞いを説明した際、クーロン
  エネルギーは「圧倒的」に小さい、と述べましたが、圧倒的ではありませんでした。
  訂正しておきます。
  それでも、現実の金属中の自由電子は、殆どクーロン相互作用の影響を受けずに、
  走り廻っている(＝クーロン相互作用による散乱は少ない)と考えて間違いありません。
  
  最近は、このクーロンエネルギーの方が強い場合に、いろいろ面白いことが
  起こるので、「強相関物質」として、さまざまな研究が行われています。
  

＊レポート6 
液体ヘリウムの超流動は、１９３０〜１９４０年代に、カマリング・オンネスと、
カピッツァらによって発見されました。これは、自由なボース粒子における
ボース・アインシュタイン凝縮に近いと言われており、臨界温度の表式は今回の
講義で示しました。

一方、今年度のノーベル物理学賞の対象となった、「レーザー冷却された
希ガス原子のボースアインシュタイン凝縮」では、原子は「箱の中」に閉じ込められて
いるのではなく、「調和ポテンシャル〜 kx² 」の中に居るとした方が良い近似であると
されています。

⇔ 止まっている調和振動子の問題 (前期でやった筈です)とは全く異なる話になります。

問）三次元調和振動子の一粒子状態密度を求め、本日の講義でやった、
ゼロでないエネルギーを占める総粒子数を求める式に代入して見よ。
ヒント─結果はζ(3)=Σ1/n³を使って表される。

• 中間試験は無事に終了しました。略解　　　　　　　　　　　　　　　            　<<<TOP
  
• 中間試験 11月26日(月曜日)1-2限、場所【3-325】、持込不可
  ノート通りの易しい問題にする予定ですので良く復習しておいて下さい。
  
  期末試験は百点満点とし、中間試験の点数(これから決めます)を加算した
  ものをテストの得点とします。ですから、中間試験を受けなくとも、期末試験で
  良い点数を獲得すれば、評点Aが付きます。
  
  また教職等で、月曜1-2限の科目を履修していて出席点が厳しい場合は、
  証明書を書きますので申し出て下さい。
  
  
• 出題範囲
  
      ニ準位系(カノニカル分布)
      量子統計による絶対零度でのフェルミ粒子の振る舞い

• 第六回 11月16日　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　<<<TOP
  • 有限温度におけるフェルミ粒子のエントロピー
  • 磁場がかかった時の振る舞い(パウリ磁化率)
    
    Q&A-4 (11/9受け取り分)
    

＊レポート5 (易しい問題ですので自明と思った人はやらなくてもOKです)
フェルミ分布関数×状態密度を1次元、2次元、3次元の各場合について
グラフに表せ。但し、m (0)≡e _F＝１ としてよい。 
横軸範囲＝0〜2程度       (大体でよい)
縦軸＝f (e )・D(e )
k_BT ＝0.001, 0.003, 0.01, 0,03, 0.1, 0.3

＊二次元と一次元の化学ポテンシャルの温度変化はやっていないので、
   二次元と一次元についてはm (T)の温度変化は無視してもよい。
   （計算できる人はもちろん、トライして下さい)

• 第五回 11月9日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP
  • 有限温度におけるフェルミ粒子の性質
  • ゾンマーフェルトの公式
  • 平均の粒子数→化学ポテンシャル、平均のエネルギー→比熱
    
    Q&A-3 (10/25受け取り分)

* レポート4　(易しい問題ですので自明と思った人はやらなくてもOKです)
原子間隔が3Åの一価原子の金属におけるフェルミエネルギーを、
温度、eV、J、周波数、の単位で求めよ。
(ヒント　　一価金属だから、自由電子が3×3×3ųの立方体に
1個居ると考える)

二つの電子が、3Å離れて配置している際のクーロンエネルギーを
計算して、前項のフェルミエネルギーと比較せよ。

余力のある人は、半径R(= 3Å)の球の球内に、電荷eが均一に分布している
場合の自己クーロンエネルギーを計算してみよう。

訂正）この配置では同じ程度になってしまう。よって、講義でクーロンの方が
遥かに小さい、と断言してしまったのは言い過ぎでした。すみません。

• 第四回　10月26日　　　　　　　　　　　　　　　　　　               　<<<TOP
  • 状態密度 〜 一種の変数変換の変換因子のようなもの
  • (箱に閉じ込められた自由な)フェルミ粒子の絶対零度での性質
  • クーロン相互作用は、フェルミエネルギーに比べて遥かに小さい

      Q&A-2 (10/19受け取り分)

  
  * レポート3 (講評)
  三次元の自由粒子の状態密度e^1/2 をミクロに確かめてみよう。
  　e_i = D・(n_x²+n_y²+ n_z²)
  について、e_i /D = 0, 1, 2,..., 20 程度の範囲で、 (n_x, n_y, n_z)の組み合わせの
  数がいくつあるか調べてグラフにし、大体e^1/2の依存性を持つか見てみよ。
  注意) 周期的境界条件を採用して、n_x, n_y, n_z = 0, ±1 , ±2 ,... とせよ。

  ヒント─場合の数の計算は地道にやるのが良い。
  ヒストグラムを駆使すると、表集計ソフトウェアを使って一般的に計算する
  ことも可能。

• 第三回　10月19日　　　　　　　　　　　　　　　　　　             　<<<TOP
  • ボース分布とフェルミ分布
  • 絶対零度における化学ポテンシャル(ボース分布μ→ -0, フェルミ分布→数万〜十万K)
  • ボース粒子と古典粒子の違い─どうしてボース粒子は古典粒子よりも密集しやすいか。

    Q&A-1 (10/5受け取り分)

* レポート2 (Q&Aを見て思いつきました。ミクロカノニカルの話です)
二準位系(e =0,1)のエントロピーS(E) = k_Blog(_NC_E) を計算してみよう。
但し、一般式ではなく、N = 10〜20 程度について、E = 0,1,...N/2 の範囲について
計算し、グラフ(横軸E、縦軸S)を描け。
ヒント─上の準位(e =1)を占めている粒子数をM個とするとE=M に注意。
ヒント─ Excelで組み合わせ数を得る関数は、combine(N,M)

次に、温度Tを、 1/T = dS/dE の定義式より求めこれもグラフにしみよう。
但し、今の場合、E は離散変数なのでそのままでは微分を計算できない。そこで、
    dS/dE≒[dS(E+1)−dS(E)]/dE
のように、微分を差分で近似して求めればよい。

• 第二回　10月12日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP
  
  • 大分配関数、量子力学による粒子の統計性(ボース粒子、フェルミ粒子)
  • 粒子数表示、フェルミ分布関数
    
       フェルミ分布関数の導出

　☆板書でミスをやらかしました。PV = +k_BT logZ_G です。
　   (言い訳ですが、途中で符号のミスを指摘され慌てました。)

• 第一回　10月5日　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　<<<TOP
  • ミクロカノニカル集合、カノニカル集合、グランドカノニカル集合、その他の集合の復習
  • ラグランジュの未定定数法による状態の実現確率の導出
  •  どうやって熱力学に持って行くか)
    
        * レポート1 (講評・試問)
         一次元の箱の中の自由粒子について、カノニカルのZ から、F と S と E と C を
    　　 計算してグラフにせよ。
    　　 但し、エネルギーはe_n=D×n² である。(n= 0, ±1, ±2, ±3,...)
    　　但し、D=1とし、グラフの描画範囲は横軸 k_BT= 0 ~10 (0.1きざみ)とする。
    注意1：Z はそのままでは計算できない(多分)ので、n= 0~6程度までの和で近似。
    　　　　　(n= 5だと、k_BT >6程度で誤差が大きくなるのでもう少し大きい方がよい)
    　　注意2：縦軸は、k_Bで割ったものをプロットした方が見やすい。
    
    　* 調和振動子や局在したスピン集団 についてもグラフ化を試みよ(こちらが簡単)

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