体論およびGalois理論。 方程式の解を求めることは数学の基本的な欲求の一つである。 Galois理論は方程式の解法理論から見出されたものであるが、 今や数学の多くの場面で類似の構造が見出され一般化されている。 本講義では、代数の一般論としての体論の上で、 古典的な体拡大のGalois理論を中心に講ずる。 演習も適宜行なう予定なので、積極的な参加を求む。
配ったプリント [page 0(pdf,16KB) |演習1(pdf,17KB) ] ・プロジェクタ資料 [10/2授業時(pdf,43KB) |10/2印刷用(pdf,37KB) ]
今までに習った数学(算数)／人間と数学の歴史を振り返る。 古典的な方程式論。根の公式を求めて。 3次方程式のCardano(del Ferro, Fontana, Tartaglia)の公式。
配ったプリント [演習2(pdf,9KB) ] ・プロジェクタ資料 [10/6授業時(pdf,37KB) |10/6印刷用(pdf,35KB) ] ・Maple実演資料 [3次多項式の判別式(MapleWorksheet,3KB) ]
前回の復習。3次多項式の判別式を係数で表す(Mapleによる実演)。 所謂「不還元の場合」について。 4次方程式のFerrariの解法。5次以上の方程式の解法の模索(Tschirnhaus変換)。 Lagrangeの考察。
配ったプリント [page 1(pdf,28KB) |演習3(pdf,16KB) ] ・プロジェクタ資料 [10/9授業時(pdf,56KB) |10/9印刷用(pdf,53KB) ]
多項式の判別式・終結式。 Lagrangeの方法。根の置換を考える。所謂「Lagrangeの定理」のそもそも。 Ferrariの解法に現れた4次多項式の3次分解式をLagrangeの方法から見直す。
配ったプリント [page 2(pdf,27KB) ] プロジェクタ資料 [10/13授業時(pdf,38KB) |10/13印刷用(pdf,33KB) ]
「体育の日」であるが授業実施日である。
今回から現代風な体論に入る。 体論の起こり。人間はどういうものを「数」と認識してきたのか。 体の定義(公理)。
体の作り方(分数化・剰余環)。環論の復習を交えながら。
配ったプリント [page 3(pdf,29KB) |page 4(pdf,32KB) ]
体の拡大。拡大次数。代数拡大・超越拡大。最小多項式。
プロジェクタ資料 [10/23授業時(pdf,20KB) |10/23印刷用(pdf,20KB) ]
単代数拡大と最小多項式。拡大次数の連鎖律。
配ったプリント [page 5(pdf,27KB) ]
代数拡大(続き)。根体と分解体。代数閉体と代数閉包。
演習問題の発表。板書および書画カメラを使った。
ソフィア祭・文化の日でお休み。
プロジェクタ資料(機器不調で使えなかったが、ここに置いておく) [11/6授業時(pdf,48KB) |11/6印刷用(pdf,40KB) ]
代数拡大(続き)。代数閉体と代数閉包。選択公理について。 共役(予告編)。
代数拡大(続き)。共役・正規拡大。
代数拡大(続き)。共役・正規拡大。有限次代数拡大の基本的な不等式。
プロジェクタ資料 [11/17授業時(pdf,37KB) |11/17印刷用(pdf,32KB) ]
体の標数。有限体について。Frobenius写像。
配ったプリント [page 6(pdf,31KB) |演習4(pdf,14KB) ]・ プロジェクタ資料 [11/20授業時(pdf,25KB) ]
体の標数。有限体(続き)。分離元・分離拡大。
勤労感謝の日の振替休日でお休み。
配ったプリント [page 7(pdf,28KB) |page 8(pdf,34KB) ] ・プロジェクタ資料 [11/27授業時(pdf,27KB) ]
分離拡大・非分離拡大。有限次分離拡大は単拡大。
有限体に関連する初等整数論の幾つかの話題。原始根について。
有限体に関連する初等整数論の幾つかの話題。平方剰余とその相互律。
1の冪根・円分多項式。
配ったプリント [page 9(pdf,35KB) |page 10(pdf,37KB) |page 11(pdf,32KB) ]
1の冪根・円分多項式。
多項式の既約性判定。Gau\ss の補題。Eisensteinの既約性判定法。
演習問題の発表および補足。
中間試験を行なった。 [中間試験問題(pdf,22KB) ]
プロジェクタ資料 [12/15授業時(pdf,50KB) ]
多項式の既約性判定。Gau\ss の補題・Eisensteinの既約性判定法の証明。 素数を法とする判定。
Galois理論への導入。
配ったプリント [page 12(pdf,31KB) |演習5(pdf,10KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/18授業時(pdf,39KB) ]
中間試験返却。
Galois理論。Galois拡大の定義。
配ったプリント [page 13(pdf,38KB) |page 14(pdf,36KB) ] ・プロジェクタ資料 [12/22授業時(pdf,37KB) ]
Galois理論の基本定理。
配ったプリント [page 15(pdf,32KB) ] ・プロジェクタ資料 [1/5授業時(pdf,38KB) ]
Galois理論の基本定理。推進定理。補足: 群のファイバ積。
Galois拡大・Galois対応の例: 円分体 Ｑ(ζ_5)。
成人の日でお休み。
木曜日であるが「見做し月曜日」で、どちらにしても本授業はあるのであった。
Galois拡大・Galois対応の例: 円分体 Ｑ(ζ_7)。Gauss和について。 冪根添加による拡大: X^3-2∈Ｑ[X] のＱ上の分解体。
Galois拡大・Galois対応の例: 冪根添加による拡大。Kummer拡大。 有限体の拡大。
配る予定のプリント [page 16(pdf,39KB) |page 17(pdf,33KB) ]
Galois理論。Dedekind-Artinの方法。
補講。発表および質問会。出席は義務とせず。
プロジェクタ資料 [1/26授業時(pdf,35KB) ]
Dedekind-Artinの方法(続き)。ノルムとトレース。正則表現。Kummer拡大再訪。
期末試験を行なう。